Linear Mappings and Matrices

Matrix representation of a linear operator

linear operator $T : V \to V $이고,  S={$u_1,u_2,\cdots,u_n$} 는 V의 basis이다.

그러면 $T(u_1), T(u_2), \cdots, T(u_n)$ 는 벡터 공간 V의 벡터들이고, 각각은 basis S의 linear combination이다.

$T(u_1) = a_{11}u_1 + a_{12}u_2+\cdots + a_{1n}u_n \\ T(u_2) = a_{21}u_1 + a_{22}u_2+\cdots + a_{2n}u_n \\  \cdots$

$T(u_n) = a_{n1}u_1 + a_{n2}u_2+\cdots + a_{nn}u_n$

 

위의 계수 행렬의 전치, 즉

$[T]_s = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots  \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} $는 n차 정방 행렬인

linear operator 의 matrix representation 표현 이다.

 

또한 coordinate column vector notation을 따라서, 

$[T]_s = [ [T(u_1)]_s, [T(u_2)]_s, \cdots, [T(u_1)]_s]$로 표현되기도 한다.

 

Change of Basis

Linear operator는 basis와 전혀 관련이 없다.

이제 S={$u_1,u_2,\cdots,u_n$} 가 vector space V의 basis라고 하고, $S^{\prime}=${$v_1,v_2,\cdots,v_n$}은 또 다른 basis라 하자.

S를 old basis, $S^{\prime}$을 new basis라 하자.

S가 basis 이기 때문에, 각각의 new basis $S^{\prime}$은 S의 vector들의 linear combination으로 나타낼 수 있다.

 

$v_1 = a_{11}u_1 + a_{12}u_2+\cdots + a_{1n}u_n \\ v_2 = a_{21}u_1 + a_{22}u_2+\cdots + a_{2n}u_n \\  \cdots$

$v_n = a_{n1}u_1 + a_{n2}u_2+\cdots + a_{nn}u_n$

이 때 계수 행렬 A는

$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots  \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} $ 이고, 이를 전치한  

$ P = A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots  \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} $ 를 old basis S로부터 new basis $S^{\prime}$ 까지의

transition matrix 라고 한다.

 

예제

$V=\mathbb{R}^2$에 두 개의 basis가 있다.

S = {$u_1, u_2$} = {$(1, 2), (3, 5) $} and $S^{\prime}$ = {$v_1, v_2$} = {$(1, -1), (1, -2) $}

 

$(a)$ S로부터 new basis $S^{\prime}$ 까지의 transition matrix P를 찾자.

$S^{\prime}$의 각각의 벡터를 S의 vector들의 linear combination으로 나타내면

 

$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 3\\5 \end{bmatrix} $ or$x+3y = 1 \\ 2x+5y=-1$ 즉, x=-8, y=3

 

$\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 3\\5 \end{bmatrix} $ or$x+3y = 1 \\ 2x+5y=-2$ 즉, x=-11, y=4

 

그러므로,

$ v_1 = -8u_1 + 3u_2 \\ v_2 = -11u_1 + 4u_2 $ 따라서,$ P =  \begin{bmatrix} -8 & -11 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $

 

이 때 $v_1, v_2$의 coordinate는 행렬 P의 row가 아니라 column 이다.

 

$\begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 & -11 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $

 

$(b)$  $S^{\prime}$로부터 S까지의 transition matrix Q를 찾자

S의 각각의 벡터를 $S^{\prime}$ 의 vector들의 linear combination으로 나타내면, 결국

 

$u_1 = 4v_1-3v_2 \\ u_2=11v_1-8v_2 $ 따라서, $ Q =  \begin{bmatrix} 4 & 11 \\ -3 & -8 \end{bmatrix} $

 

이 때 $Q = P^{-1}$ 이다.

 

$\begin{bmatrix} u_1 & u_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 11 \\ -3 & -8 \end{bmatrix} $

 

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similar transform

$$ [q]_s = [T]_s [p]_s \\ [q]_{s^{\prime}}=[T]_ {s^{\prime}} [p]_ {s^{\prime}}  $$

이 때

$$ [p]_ {s^{\prime}}=P [p]_s \\ [q]_ {s^{\prime}} = P[q]_s $$

그러면

$$ P [q]_s = [T]_ {s^{\prime}} P [p]_s $$

$$ \begin{aligned}  {[q]_s} =& P^{-1}[T]_ {s^{\prime}} P [p]_s \newline =& [T]_ {s^{\prime}} [p]_s \end{aligned} $$

결국 $[q]_s$ 에 대한 두 식을 생각하면,

$$ [T]_s = P^{-1}[T]_ {s^{\prime}}P $$ 이다.

이는 similar transform의 일종 이다.

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Similar transformation

행렬 A와 B가 다음 관계를 만족하면, A와 B는 similar $($ 유사 $)$ 하다고 한다:

$$  A = P^{-1}BP $$

여기서:

• B : 원래 어떤 basis 에서의 행렬
• P : basis 변환 행렬, 역행렬 존재
• $ P^{-1}BP$ : 행렬 B를 P에 의해 변환한 결과

행렬 B는 특정 basis에서의 표현이고, 이를 similar transform을 통해 다른 basis에서 표현한 것이 A이다.

P의 각 원소인 열벡터 $p_1,p_2,\cdots,p_n$은 B가 존재하는 space에서 basis가 된다.

 

A와 B는 동일한 선형 변환을 나타내고, 고윳값, 행렬식, 계수 다항식, rank, singularity와 같은 특성들을 공유한다.

이는 행렬을 대각화 또는 Jordan 표준형으로 변환하여 계산과 분석을 단순화 할 수 있다!