phase planestate variable로 이루어진 공간일반적으로 두 개의 상태 변수를 축으로 하는 2차원 평면 phase portrait phase plane 위에서 시스템의 모든 궤적을 나타낸 것phase plane의 각 점에서 vector field를 계산하여, 상태 변화의 흐름을 시각적으로 표현예시autonomous system $ \dot{x} = Ax $ 에서 $ A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $라 한다면 $$ x \left( t \right) = x_0 e^{At} = x_0 e^{ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} t } = x_0 e^{ \begin{bmatrix} -t & 0..

Eigenvalue and Eigenvector정의 : field $K$에 대한 vector space $V$ 위의 linear transformation $ A : V \to V $가 주어졌다고 하자. 만약 어떤 $ v \in V$와 $ \lambda \in K $가$ v \neq 0 $$Av = \lambda v$를 만족시키면, $v$를  $A$의 고유벡터라고 하고, $\lambda$를 $A$의 $\left( v에 \; 대응하는 \right) $고윳값이라고 한다. Eigen decomposition다음 식 $$ AV = \lambda V$$ 은 n차원의 열벡터인 고유벡터 V와 고윳값 $\lambda$로 구성되며,각각의 고윳값이 다르다고 가정하면$$ Av_1 = \lambda_1 v_1 \\ Av_2 ..

Inner product space 내적 공간 : inner product가 정의되는 vector spaceV가 실수 vector space이고 $u, v \in V$일 때,  만약 다음의 조건을 만족하면$\left$는 inner product 라고 한다.1. Linear property : $\left = a \left +b \left$2. Symmetric property : $ \left = \left $3. Positive definite property : $ \left \geq 0$ 이며 만약 $u=0$인 경우에만 $ \left =0$이다. Norm of a Vectornorm : vector의 크기inner product로 정의된 norm : $\left\| u \right\| = \sqrt..

Matrix representation of a linear operatorlinear operator $T : V \to V $이고,  S={$u_1,u_2,\cdots,u_n$} 는 V의 basis이다.그러면 $T(u_1), T(u_2), \cdots, T(u_n)$ 는 벡터 공간 V의 벡터들이고, 각각은 basis S의 linear combination이다.$T(u_1) = a_{11}u_1 + a_{12}u_2+\cdots + a_{1n}u_n \\ T(u_2) = a_{21}u_1 + a_{22}u_2+\cdots + a_{2n}u_n \\  \cdots$$T(u_n) = a_{n1}u_1 + a_{n2}u_2+\cdots + a_{nn}u_n$ 위의 계수 행렬의 전치, 즉$[T]_s = \be..

Mappings, Functions함수 function, 또는 사상 mapping : 어떤 집합의 각 원소를 다른 어떤 집합의 유일한 원소에 대응시키는 이항 관계이다.정의역 domain : 함수가 어떤 값을 대응시키는지가 정의된 원소들로 구성된 집합공역 codomain, targer set : 이 함수의 값들이 속하는 집합치역 range : 함수의 모든 출력값의 집합. 즉, 정의역의 상 image 이다.상 image : 어떤 함수에 대한 정의역의 원소에 대응하는 공역의 원소원상 preimage : 어떤 함수에 대한 공역의 원소에 대응하는 정의역의 원소그래프 graph : $(a, f(a)) : a \in A $ Composition of Mappings$ f : A \to B,  g : B \to C  ..

교재 : Linear System Theory and Design $4_{th}$ Ed. by Chen, Oxford, 2013 Vector space스칼라 필드 $ \textit{K} (실수 or 복소수)$에 대한 Vector space $ \textit{V}$Definition : $\textit{V}$ 는 공집합이 아니며1. Vector Addition : for any $\textit{u, v} \in V$, a sum  $\textit{u+v} \in V$2. Scalar Multiplication : any $\textit{u} \in V$,  $\textit{k} \in K$, a product  $\textit{ku} \in V$  $\textit{u, v, w} \in V$ : vecto..