phase plane vs phase portrait
2025. 2. 6. 15:22ㆍ선형시스템이론
phase plane
- state variable로 이루어진 공간
- 일반적으로 두 개의 상태 변수를 축으로 하는 2차원 평면
phase portrait
- phase plane 위에서 시스템의 모든 궤적을 나타낸 것
- phase plane의 각 점에서 vector field를 계산하여, 상태 변화의 흐름을 시각적으로 표현
예시
autonomous system ˙x=Ax 에서 A=[−1002]라 한다면
x(t)=x0eAt=x0e[−1002]t=x0e[−t002t]=x0[e−t00e2t]
이때
˙x1=−x1,˙x2=2x2
아래 그림과 같이 가로축 (x1축) 에서는 감소하며 궁극적으로는 0으로 가고,
세로축 (x2축) 에서는 증가하며 궁극적으로 무한대로 커진다.

예시
˙x=Ax,˙x1=−x1−3x2,˙x2=2x2 일 때
eigenvalue λ1=−1,λ2=2
어떤 행렬 A=[ab0c] 처럼
왼쪽 아래가 0이라면, 고윳값은 항상 대각성분인 a와 c 이다.
A−λI=[a−λb0c−λ]
det(A−λI)=(a−λ)(c−λ)=0
λ1에대해eigenvectorv1=[10],λ2에대해v2=[−11]

P=[v1v2]=[1−101]
대각화 P−1AP=[1−101][−1−302][1−101]−1=[−1002]
대각화를 통해, 각 변수가 decoupled 되었다.

reference
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