phase plane vs phase portrait

phase plane

• state variable로 이루어진 공간
• 일반적으로 두 개의 상태 변수를 축으로 하는 2차원 평면

 

phase portrait

• phase plane 위에서 시스템의 모든 궤적을 나타낸 것
• phase plane의 각 점에서 vector field를 계산하여, 상태 변화의 흐름을 시각적으로 표현

예시

autonomous system $ \dot{x} = Ax $ 에서 $ A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $라 한다면

 $$ x \left( t \right) = x_0 e^{At} = x_0 e^{ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} t } = x_0 e^{ \begin{bmatrix} -t & 0 \\ 0 & 2t \end{bmatrix} } = x_0 \begin{bmatrix} e^{-t} & 0 \\ 0 & e^{2t} \end{bmatrix} $$

 

이때

$$ \dot{x_1} = -x_1, \quad \dot{x_2} = 2 x_2 $$

 

아래 그림과 같이 가로축 $\left( x_1 \; 축 \right) $ 에서는 감소하며 궁극적으로는 0으로 가고,

세로축 $\left( x_2 \; 축 \right) $ 에서는 증가하며 궁극적으로 무한대로 커진다.

phase plane plotter

 

예시

$ \dot{x} = Ax, \quad \dot{x_1} = -x_1-3x_2, \quad \dot{x_2} = 2x_2 $ 일 때

eigenvalue $ \lambda_1 = -1, \; \lambda_2 = 2 $

어떤 행렬 $ A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} $ 처럼
왼쪽 아래가 0이라면, 고윳값은 항상 대각성분인 a와 c 이다.

$ A - \lambda I = \begin{bmatrix} a-\lambda & b \\ 0 & c-\lambda \end{bmatrix} $
$ det \left( A - \lambda I \right) = \left( a - \lambda \right) \left( c - \lambda \right) = 0 $

 

$ \lambda_1 \; 에 \; 대해 \; eigenvector \; v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \; \lambda_2 \; 에 \; 대해 \; v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $

$ P = \begin{bmatrix} v_1& v_2  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $

대각화 $ P^{-1}AP =  \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} { \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} }^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $

대각화를 통해, 각 변수가 decoupled 되었다.

 

reference

https://choosedews.github.io/PhasePlane/