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phase plane vs phase portrait

2025. 2. 6. 15:22선형시스템이론

phase plane

  • state variable로 이루어진 공간
  • 일반적으로 두 개의 상태 변수를 축으로 하는 2차원 평면

 

phase portrait

  • phase plane 위에서 시스템의 모든 궤적을 나타낸 것
  • phase plane의 각 점에서 vector field를 계산하여, 상태 변화의 흐름을 시각적으로 표현

예시

autonomous system ˙x=Ax 에서 A=[1002]라 한다면

 x(t)=x0eAt=x0e[1002]t=x0e[t002t]=x0[et00e2t]

 

이때

˙x1=x1,˙x2=2x2

 

아래 그림과 같이 가로축 (x1) 에서는 감소하며 궁극적으로는 0으로 가고,

세로축 (x2) 에서는 증가하며 궁극적으로 무한대로 커진다.

phase plane plotter

 

예시

˙x=Ax,˙x1=x13x2,˙x2=2x2 일 때

eigenvalue λ1=1,λ2=2

어떤 행렬 A=[ab0c] 처럼
왼쪽 아래가 0이라면, 고윳값은 항상 대각성분인 a와 c 이다.

AλI=[aλb0cλ]
det(AλI)=(aλ)(cλ)=0

 

λ1eigenvectorv1=[10],λ2v2=[11]

P=[v1v2]=[1101]

대각화 P1AP=[1101][1302][1101]1=[1002]

대각화를 통해, 각 변수가 decoupled 되었다.

 

reference

https://choosedews.github.io/PhasePlane/

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