2025. 1. 20. 19:47ㆍ선형시스템이론
Inner product space 내적 공간 : inner product가 정의되는 vector space
V가 실수 vector space이고 u,v∈V일 때, 만약 다음의 조건을 만족하면
⟨u,v⟩는 inner product 라고 한다.
1. Linear property : ⟨au1+bu2,v⟩=a⟨u1,v⟩+b⟨u2,v⟩
2. Symmetric property : ⟨u,v⟩=⟨v,u⟩
3. Positive definite property : ⟨u,u⟩≥0 이며 만약 u=0인 경우에만 ⟨u,u⟩=0이다.
Norm of a Vector
norm : vector의 크기
inner product로 정의된 norm : ‖u‖=√⟨u,u⟩
Examples of Inner product spaces
Euclidean n-space Rn : inner product를 dot product로 표현
inner product : u⋅v=a1b1+a2b2+⋯+anbn
euclidean norm : ‖u‖=√u⋅u=√a12+a22+⋯+an2
Function space C[a,b] and Polynomial space P(t)
cos(t),sin(t)∈C[0,2π] : 닫힌 구간에서 연속, t∈[0,2π] 일 때,
inner product : ⟨cos(t),sin(t)⟩=∫2π0cos(t)sin(t)dt=0
Matrix space
A와 B 모두 m x n 행렬일때,
inner product : ⟨A,B⟩=tr(BTA)
trace : 행렬의 주 대각선의 원소의 합이다.
A=[123456789] 일 때,
tr(A)=a11+a22+a33=1+5+9=15
Hilbert space
유한한 유클리디안 공간을 무한 차원으로 확장한 개념
푸리에 해석이 이루어지는 공간
Cauchy-Schwarz Inequality
⟨u,v⟩2≤⟨u,u⟩⟨v,v⟩ or |⟨u,v⟩|≤‖u‖‖v‖
u와 v가 평행할 때 등호가 성립한다.
u=[1,2,3],v=[4,−5,6] 에 대해:
u⋅v=4−10+18=12,
‖u‖=√12+22+32=√14, ‖v‖=√42+−52+62=√77
∴12≤√14√77=√1078≈32.8
triangular inequality 삼각 부등식
삼각형의 두 변의 합은 나머지 한 변의 합보다 크다.
‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖
Orthogonality
두 벡터의 inner product가 0이면 orthogonal 직교 하다.
⟨u,v⟩=0
orthogonal complements
S가 inner product space V의 부분집합이라고 하자. S의 orthogonal complement S⊥는 모든 vector u∈S와 수직한 vector의 구성이다.
S⊥={v∈V:⟨v,u⟩=0foreveryu∈S}
S⊂V,S⊥⊂V,V=S⊕S⊥
Gram-Schmidts Orthogonalization Process
주어진 벡터 집합을 선형 독립성을 유지하면서 서로 직교하는 벡터 집합으로 변환하는 과정
주어진 집합 : {v1,v2,⋯,vn} : 선형 독립인 벡터 집합
출력 : {u1,u2,⋯,un} : 직교 벡터 집합
알고리즘 :
1. 첫 번째 벡터 u1 :
u1=v1
2. 두 번째 벡터 u2 : v2에서 u1의 성분을 제거하여 직교시킨다.
u2=v2−proju1(v2)
여기서 proju1(v2)는 v2가 u1방향으로 투영된 성분이다. 즉, v2의 u1방향 성분이다.
proju1(v2)=⟨v2,u1⟩⟨u1,u1⟩u1
* u1=[12],v2=[34] 일 때,
⟨v2,u1⟩=3+8=11,⟨u1,u1⟩=12+22=5
proju1(v2)=115[12]
v2는 u1방향으로 115 배 만큼 겹쳐진다.
예제
주어진 벡터 : v1=[110], v2=[101]
두 벡터는 선형 독립이다.
단계1 : u1=v1=[110]
단계2 : proju1(v2)=⟨v2,u1⟩⟨u1,u1⟩u1
⟨v2,u1⟩=1+0+0=1, ⟨u1,u1⟩=1+1+0=2
proju1(v2)=12[110]=[0.50.50]
결국 u2=v2−proju1(v2)=[101]−[0.50.50]=[0.5−0.51]
결과 : 새로운 직교 벡터 집합
u1=[110], u2=[0.5−0.51]
Orthogonal Matrix
만약 실수 matrix P가 nonsingular이고 P−1=PT이면 P는 orthogonal이다.
SO(3) : special orthogonal 3, 회전행렬
Positive definite matrix
내적 ⟨u,Au⟩는 AT=A인 real symmetrix matrix A에 대해 uTAu와 같다.
real symmetrix matrix A와, nonzero vector u∈Rn 에 대해,
⟨u,Au⟩=uTAu>0 이면
A는 positive definite 이다.
특징 : 모든 고윳값이 양수이다.
'선형시스템이론' 카테고리의 다른 글
phase plane vs phase portrait 2 | 2025.02.06 |
---|---|
Diagonalization : Eigenvalues and Eigenvectors 0 | 2025.01.31 |
Linear Mappings and Matrices 0 | 2025.01.07 |
Linear Mappings 0 | 2025.01.05 |
Vector Spaces 1 | 2025.01.02 |